Тема 03. Значение логического выражения

🏠 Главная / Теория / Тема 03. Значение логического выражения

На ОГЭ эта тема проверяет умение определять, при каких значениях переменных логическое выражение истинно или ложно, а также находить наибольшее/наименьшее подходящее число.

---

## 1. Основные логические операции

### НЕ (Инверсия, отрицание)

Меняет значение на противоположное.

| X | НЕ X |
|---|------|
| Истина | Ложь |
| Ложь | Истина |

**Как переводить:**
- `НЕ (X > 5)` → `X ≤ 5`
- `НЕ (X < 10)` → `X ≥ 10`
- `НЕ (X = 7)` → `X ≠ 7`
- `НЕ (X чётное)` → `X нечётное`

### И (Конъюнкция)

Истинно, только если **оба** условия выполняются одновременно.

| A | B | A И B |
|---|---|-------|
| И | И | **И** |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | Л |

**Пример:** `(X > 3) И (X < 8)` — истинно для X = 4, 5, 6, 7.

### ИЛИ (Дизъюнкция)

Истинно, если выполняется **хотя бы одно** из условий.

| A | B | A ИЛИ B |
|---|---|---------|
| И | И | **И** |
| И | Л | **И** |
| Л | И | **И** |
| Л | Л | Л |

**Пример:** `(X < 3) ИЛИ (X > 8)` — истинно для X = 1, 2, 9, 10...

---

## 2. Приоритет операций

Выполняются в порядке убывания приоритета:

1. `()` — скобки (наивысший приоритет)
2. `НЕ` — инверсия
3. `И` — конъюнкция
4. `ИЛИ` — дизъюнкция (наименьший приоритет)

**Пример разбора:** `A ИЛИ B И НЕ C`

Сначала: `НЕ C`, потом `B И (НЕ C)`, потом `A ИЛИ (B И (НЕ C))`.

> **Совет:** При сомнениях — расставляйте скобки самостоятельно по правилам приоритета. Это исключит ошибки.

---

## 3. Алгоритм решения задач

### Шаг 1. Упростить отрицания

Замените все `НЕ` на прямые неравенства:
- `НЕ (A > B)` → `A ≤ B`
- `НЕ (A И B)` → `(НЕ A) ИЛИ (НЕ B)` (законы де Моргана)
- `НЕ (A ИЛИ B)` → `(НЕ A) И (НЕ B)`

### Шаг 2. Определить тип вопроса

- "Найти **наибольшее** целое X" → ищем правую границу допустимых значений.
- "Найти **наименьшее** целое X" → ищем левую границу.
- "Для какого из **перечисленных** чисел..." → просто проверяем каждое.
- "Сколько целых чисел X в диапазоне [a, b]..." → считаем подходящие.

### Шаг 3. Анализ по частям

Разберите выражение на части и определите, когда каждая часть истинна.

**Пример:**
Выражение: `(X > 2) И (X < 10) И (X чётное)`

- `X > 2` → X ≥ 3
- `X < 10` → X ≤ 9
- `X чётное`

Подходящие X: 4, 6, 8. Наибольшее = **8**.

---

## 4. Законы де Моргана

Очень важны для упрощения сложных выражений с НЕ:

$$\text{НЕ}(A \text{ И } B) = (\text{НЕ } A) \text{ ИЛИ } (\text{НЕ } B)$$

$$\text{НЕ}(A \text{ ИЛИ } B) = (\text{НЕ } A) \text{ И } (\text{НЕ } B)$$

> **Совет:** Запомните правило: "При раскрытии НЕ со скобками — меняем И на ИЛИ и наоборот".

---

## 5. Типичные ошибки

- **Перепутать И и ИЛИ.** "И" сужает множество, "ИЛИ" расширяет.
- **Забыть про ноль.** `0` — чётное число! Если ищете чётные, 0 подходит.
- **Неверно раскрыть НЕ.** `НЕ (X > 5)` — это `X ≤ 5`, а не `X < 5`.
- **Игнорировать строгость неравенства.** `X > 5` не включает 5, `X ≥ 5` — включает.
- **Не учесть целочисленность.** Если X — целое и `X > 2.5`, то наименьшее X = 3.

---

## 6. Лайфхаки для ОГЭ

> **Совет:** Если выражение с "И", нарисуйте числовую ось и заштрихуйте каждое условие. Пересечение — это ответ.

> **Совет:** Если выражение с "ИЛИ", объедините допустимые диапазоны.

> **Совет:** При вопросе "наибольшее X" — идите от самого большого числа в диапазоне вниз, пока не найдёте подходящее.

> **Совет:** Таблица истинности нужна только если переменных 2 и они булевы (Истина/Ложь). Для числовых переменных — работайте с неравенствами.

Назад к списку

🚩 Пожаловаться